§ 75. Общие сведения об аксонометрических проекциях

При выполнении технических чертежей в ряде случаев оказывается необходимо наряду с изображением предметов в прямоугольных проекциях иметь и наглядные их изображения. Это необходимо для обеспечения возможности более полно выявить конструктивные решения, заложенные в изображении предмета, правильно представить положение его в пространстве, оценить пропорции его частей и размеры.

Наглядные изображения на некоторых чертежах могут применяться и независимо от прямоугольных изображений, например, при изображении схем электроснабжения и теплоснабжения зданий и сооружений.

Существуют различные способы построения наглядных изображений. Сюда относятся аксонометрические, афинные и векторные проекции, а также ли-

Рис. 156

нейная перспектива. В настоящем учебном пособии рассматриваются только аксонометрические проекции.

Построение аксонометрических проекций заключается в том, что геометрическую фигуру вместе с осями прямоугольных координат, к которым эта фигура отнесена в пространстве, параллельным (прямоугольным или косоугольным) способами проецируют на выбранную плоскость проекций. Таким образом, аксонометрическая проекция — это проекция на одну плоскость. При этом направление проецирования выбирают так, чтобы оно не совпадало ни с одной из координатных осей.

При построении аксонометрических проекций изображаемый предмет жестко связывают с натуральной системой координат Oxyz (см. § 37). В целом аксонометрический чертеж получается состоящим из параллельной проекции предмета, дополненной изображением координатных осей с натуральными масштабными отрезками по этим осям. Название «аксонометрия» и произошло от слов — аксон — ось и метрео — измеряю.

Образование аксонометрической проекции рассмотрим на примере построения аксонометрической точки А, отнесенной к натуральной системе координат Oxyz (рис. 156). Натуральные координаты точки А получаются измерением отрезков координатной ломаной АА₁А_ХО натуральным масштабом е. При параллельном проецировании по направлению S на плоскости аксонометрических проекций Я¹ получим аксонометрическую проекцию А¹ данной точки, аксонометрическую проекцию А¹A¹₁А¹_xО координатной ломаной и аксонометрическую проекцию ОУуУ натуральной системы координат, на осях которой будут находиться единичные аксонометрические масштабные отрезки e¹_xe¹_ye¹_z.

Аксонометрическая проекция А¹₁ горизонтальной проекции точки А (первичной) называется вторичной проекцией точки А. Совокупность всех этих проекций и составляет аксонометрию точки А.

На аксонометрическом чертеже вторичная и аксонометрическая проекции предмета обеспечивают метрическую определенность и обратимость однокартинного изображения.

В аксонометрических проекциях сохраняются все свойства параллельных проекций (см. § 28).

На практике измерения вдоль аксонометрических осей выполняют в одинаковых единицах — миллиметрах, поэтому единичные натуральные масштабные отрезки и их аксонометрию на чертежах не указывают.

Коэффициенты искажения по осям в аксонометрии определяют отношением аксонометрических координатных отрезков к их натуральной величине при одинаковых единицах измерения.

Натуральные коэффициенты искажения обозначают:по оси х: и =О¹А¹х/OA_x; по оси у: v =A¹_xА¹₁/A_xA₁;

по оси z: w =A¹₁А₁/A₁A;

§ 76. Виды аксонометрических проекций

Аксонометрические проекции в зависимости от направления проецирования разделяют на:

косоугольные, когда направление проецирования не перпендикулярно плоскости аксонометрических проекций;

прямоугольные, когда направление проецирования перпендикулярно плоскости аксонометрических проекций.

В зависимости от сравнительной величины коэффициентов искажения по осям различают три вида аксонометрии:

изометрия — все три коэффициента искажения равны между собой (u = v = w);

диметрия — два коэффициента искажения равны между собой и отличаются от третьего (и не равно v = w или и= v не равно w);

триметрия — все три коэффициента искажения не равны между собой (u не равно v не равно w).

Основное предложение аксонометрии сформулировано немецким геометром К. Польке: три произвольной длины отрезка прямых, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на прямоугольных координатных осях от начала.

Согласно этой теореме любые три прямые в плоскости, исходящие из одной точки и не совпадающие между собой, можно принять за аксонометрические оси. Любые произвольной длины отрезки этих прямых, отложенные от точки их пересечения, можно принять за аксонометрические масштабы.

Эта система аксонометрических осей и масштабов является параллельной проекцией некоторой прямоугольной системы координатных

осей и натуральных масштабов, т. е. аксонометрические масштабы можно выдавать совершенно произвольно, а коэффициенты искажения при этом связаны следующим соотношением: u² + v² = w² = 2 + + ctg²(p, где ф — угол между направлением проецирования и плоскостью аксонометрических проекций (рис. 156). Для прямоугольной аксонометрии, когда ф = 90°, это соотношение принимает вид и² + v² + w² = 2 (1), т. е. сумма квадратов коэффициента искажения равна двум.

При прямоугольном проецировании может быть получена только одна изометрическая проекция и бесконечное множество диметрических и триметрических проекций. ГОСТ 2.317—69 предусматривает применение в инженерной графике двух прямоугольных аксонометрии: прямоугольной изометрии и прямоугольной диметрии с коэффициентами искажения и = w = 2v.

§ 77. Прямоугольная изометрия

Прямоугольная изометрия характеризуется тем, что коэффициенты искажения составляют 0,82. Их получают из соотношения (1).

Для прямоугольной изометрии из соотношения (1) получаем:

Зu² = 2, или и = v - w = (2/3)^1/2 = 0,82, т. е. отрезок координатной оси

длиной 100 мм в прямоугольной изометрии изобразится отрезком аксонометрической оси длиной 82 мм. При практических построениях пользоваться такими коэффициентами искажения не совсем удобно, поэтому ГОСТ 2.317—69 рекомендует пользоваться приведенными коэффициентами искажения:

и = v = w — 1.

Построенное таким образом изображение будет больше самого предмета в 1,22 раза, т. е. масштаб изображения в прямоугольной изометрии будет М^А 1,22: 1.

Аксонометрические оси в прямоугольной изометрии располагаются под углом 120° друг к другу (рис. 157). Изображение окружности в аксонометрии представляет интерес, особен-

Рис. 157

Рис. 158

Рис. 159

но окружностей, принадлежащих координатным или им параллельным плоскостям.

В общем случае окружность проецируется в эллипс, если плоскость окружности расположена под углом к плоскости проекции (см. § 43). Следовательно, аксонометрией окружности будет эллипс. Для построения прямоугольной аксонометрии окружностей, лежащих в координатных или им параллельных плоскостях, руководствуются правилом: большая ось эллипса перпендикулярна аксонометрии той координатной оси, которая отсутствует в плоскости окружности.

В прямоугольной изометрии равные окружности, расположенные в координатных плоскостях, проецируются в равные эллипсы (рис. 158).

Размеры осей эллипсов при использовании приведенных коэффициентов искажения равны: большая ось 2а= 1,22d, малая ось 2b = 0,71d, где d — диаметр изображаемой окружности.

Диаметры окружностей, параллельных координатным осям, проецируются отрезками, параллельными изометрическим осям, и изображаются равными диаметру окружности: l¹=l² =l³ = d, при этом

l¹||x; l²||y; l³||z.

Эллипс, как изометрию окружности, можно построить по восьми точкам, ограничивающим его большую и малую оси и проекции диаметров, параллельных координатным осям.

В практике инженерной графики эллипс, являющийся изометрией окружности, лежащей в координатной или ей параллельной плоскости, можно заменить четырехцентровым овалом, имеющим такие же

Рис. 160

оси: 2a = 1,22d и 2b = 0,71 d. На рис. 159 показано построение осей такого овала для изометрии окружности диаметра d.

Для построения аксонометрии окружности, расположенной в проецирующей плоскости или плоскости общего положения, нужно выделить на окружности некоторое число точек, построить аксонометрию этих точек и соединить их плавной кривой; получим искомый эллипс— аксонометрию окружности (рис. 160).

На окружности, расположенной в горизонтально проецирующей плоскости, взято 8 точек (1,2,... 8). Сама окружность отнесена к натуральной системе координат (рис. 160, а).Проводим оси эллипса прямоугольной изометрии и, используя приведенные коэффициенты искажения, строим вторичную проекцию окружности 1¹ ₁,..., 5¹₁ по координатам х и у (рис. 160, б). Достраивая аксонометрические координатные ломаные для каждой из восьми точек, получаем их изометрию (1¹, 2¹, ... 8¹). Соединяем плавной кривой изометрические проекции всех точек и получаем изометрию заданной окружности.

Изображение геометрических поверхностей в прямоугольной изометрии рассмотрим на примере построения стандартной прямоугольной изометрии усеченного прямого кругового конуса (рис. 161).

На комплексном чертеже изображен конус вращения, усеченный горизонтальной плоскостью уровня, расположенной на высоте z от нижнего основания, и профильной плоскостью уровня, дающей в се-

Рис. 161

чении на поверхности конуса гиперболу с вершиной в точке А. Проекции гиперболы построены по отдельным ее точкам.

Отнесем конус к натуральной системе координат Oxyz. Построим проекции натуральных осей на комплексном чертеже и отдельно их изометрическую проекцию. Построение изометрии начинаем с построения эллипсов верхнего и нижнего оснований, которые являются изометрическими проекциями окружностей оснований. Малые оси эллипсов совпадают с направлением изометрической оси О_Z (см. рис. 158). Большие оси эллипсов перпендикулярны малым. Величины эллипсов осей определяются в зависимости от величины диаметра окружности (d — нижнего основания и d₁ — верхнего основания). Затем строят изометрию сечения конической поверхности профильной плоскости уровня, которая пересекает основание по прямой, отстоящей от начала координат на величину X_A и параллельной оси О_у.

Изометрия точек гиперболы строится по координатам, замеряемым на комплексном чертеже, и откладываем без изменения вдоль соответствующих изометрических осей, так как приведенные коэффициенты искажения и = v = w = 1. Изометрические проекции точек гиперболы соединяем плавной кривой. Построение изображения конуса заканчивается проведением очерковых образующих касательной к эллипсам оснований. Невидимая часть эллипса нижнего основания проводится штриховой линией.

§ 78. Прямоугольная диметрия

Прямоугольная диметрия характеризуется тем, что коэффициенты искажения, определенные из выражения (1), и = w = 0,94, a v = 0,47. Определяют их следующим образом:

u²+(u/2)²+u²=2;

u² =8/9; u = w = (8/9)^1/2=0,94; v = 0,47.

В соответствии с ГОСТ 2.317—69 практические построения в прямоугольной диметрии следует выполнять пользуясь приведенными коэффициентами искажения: u = w=1 и v = 0,5.

Расположение осей стандартной прямоугольной диметрии показано на рис. 162. Аксонометрический масштаб для прямоугольной диметрии будет М^A 1,06 : 1.

В прямоугольной диметрии равные окружности диаметра d, лежащие в координатных плоскостях хОу и уО, проецируются в равные эллипсы, большая ось которых 2а = 1,06d, а малая — 2b = 0,35d, если пользуемся приведенными коэффициентами искажения. Окружность, расположенная в плоскости xOz, проецируется в эллипс с осями: большая ось которых 2а¹ = 1,066d, малая ось — 2b¹ = 0,95d (рис. 163). Диаметры.окруж-

Рис. 162

Рис. 163

Рис. 164

ности, параллельные координатным осям, спроецируются в отрезки, параллельные осям диаметрии l¹ = l² = d; l = 0,5d, при этом || Ох; l² || Оу; l³ || Oz.

Можно построить кроме указанных точек еще четыре точки, симметричные точкам, ограничивающим проекции диаметров, параллельных координатным осям. Тогда эллипс, как диметрию окружности, можно построить по его двенадцати точкам.

Изображение геометрических поверхностей в прямоугольной ди-метрии рассмотрим на примере построения стандартной прямоугольной диметрии прямого кругового цилиндра. На рис. 164 приведен пример комплексного чертежа полого цилиндра высотой Н c наружным d и внутренним d1диаметрами. Цилиндр расположим в натуральную величину в натуральной системе координат Oxyz, относительно которой построим диметрическую его проекцию. Как и в случае построения окружностей в изометрии, в диметрии также начнем построение фигуры с эллипсов верхнего и нижнего оснований цилиндра, которые являются изометрическими проекциями окружностей этих оснований. Окружности основания расположены в плоскостях, параллельных горизонтальной плоскости проекций, поэтому, пользуясь приведенными ранее правилами, определим, что большие оси эллипсов будут перпендикулярны оси Oz. Малые оси эллипсов совпадут с направлением оси Oz. Центры осей эллипсов нижнего и верхнего оснований расположены на расстоянии Я. Величины осей определяем в зависимости от величины наружного и внутреннего диаметров цилиндров. Построив эллипсы, приведем очерковые линии, касательные к внешним эллипсам.

Для наглядности построим вырез четверти цилиндра, построение которого видно из рис. 164. Направление штриховки выреза выберем, как показано на рис. 200. Невидимые линии покажем штриховыми линиями. Для наглядности такими же линиями покажем линии вырезанной части цилиндра. Видимые контурные линии наводят нужной толщиной.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Для чего нужны наглядные изображения предметов?

2. Назовите способы построения наглядных изображений?

3. Что такое аксонометрия?

4. Как получают аксонометрический чертеж?

5. Какую проекцию называют вторичной?

6. Что такое коэффициент искажения в аксонометрии?

7. Какие виды аксонометрии вы знаете?

8. Чем характеризуется прямоугольная изометрия?

9. Каков масштаб изображения в стандартной прямоугольной изометрии?

10. Как построить изометрию окружности?

11. Чем характеризуется прямоугольная диметрия?

12. Каков масштаб изображения в стандартной прямоугольной диметрии?

13. Как построить диметрию окружности?

14. Какие правила вы знаете по определению направления большой оси эллипса в изометрии и диметрии?

15. Чему равна большая и малая оси в изометрии и диметрии?